Physics 1602 3 Electrostatic Fields
全ての影響が瞬時に伝わるのはSRと矛盾
Eからqが出てきた所を確認blu3mo.icon
そこで、Electric Vector Fieldを考える E(r)
$ \vec F = q\vec E(r)
これは、ある一つのlocationでEが定まっているだけなので、causalityの問題がない(?)
Fieldを足せる
Fieldをxyz componentに分ける事できるみたいな話をしていた
とりあえずElectrostatic（Charge functionが一定、chargeが動かない）という状況を考える
fieldを定義したい
https://gyazo.com/bf18563202fbc5987e4c94ec47e14be7
こうなって、変形すればE(r)が分かる
それはそうblu3mo.icon
E fieldの捉え方
二つのchargeとか、遠くからしたらほぼ一つのまとまったchargeと捉えられる
binomial approxで導出する方法理解すべき
想像している状況
(0, 0, ±d)という感じで、z-axis上のどこかにchargeがある
1. x = 0 - i.e. we evaluate the field on the z axis
z-axis上でのfieldを考える
2. z = 0- i.e. we evaluate the field along the x axis
x-axis上でのfieldを考える
これは結構非自明な動きで、x=±d/√2の時にfieldが最大
quadraple fieldはもっと複雑
Continuous Distribution
discreteのやつのinfinitesimal limit
λ
uniform charge densityとした時に、charge / unit length = λ
chargeの線があるやつ
xとy compinentに分けて、複雑な積分（置換したり）を頑張ると計算できる
大事なこと
x >> Lなら、一つのchargeとしてみれる
x << Lなら、1/x^2ではなく1/xで変化する (?)blu3mo.icon
この結果は、cylinderical symmetryを使えば、任意のaxis（r-perpendicular)で使える
ring charge
r-perpendicularなtermは逆方向でcancel outするので、無視できる
z-direction
円周の2πRは積分ででてくる
例によって、z >> Rなら1/z^2で変化する
electric potential
conservative $ F = -∇U
conservativeなのは、あるrに常に同じFがかかるfield
それはそうblu3mo.icon
conservative E field $ E = -∇φ
Forceの代わりにFieldなので、単位はC分違う
ので、φはpotential energyではない！
$ Δφ = \int \vec E d\vec r
φの単位は、length * force / charge
これがvoltになる、なるほど〜blu3mo.icon
https://kakeru.app/041e456b06435a907c58bda04e2f9c4c https://i.kakeru.app/041e456b06435a907c58bda04e2f9c4c.svg
∇Φ+cと∇Φは同じ
Eは一番Φの変化が大きい方向に向く
Fieldが0でも、Potentialは0でないことは当然ある
それはそうだけど、force cancel outな状態とかを見てpotentialも0だと勘違いしないように
https://kakeru.app/041e456b06435a907c58bda04e2f9c4c https://i.kakeru.app/041e456b06435a907c58bda04e2f9c4c.svg
めっちゃシンプルに、charge x 1/distanceがpotentialという値
それのderivativeがForce、みたいな捉え方ができる
distanceしか関係ない = Rotational Symmetryがある
なので、例えばring chargeのpotential計算とかめっちゃ簡単
ring charge 4.3.1のはなし読みたい
symmetry
inversion symmetry: 例えば$ p(x)=p(-x)な時
$ φ(x)=φ(-x);
そうなると、Φ(0)の時の$ -E = ∇Φ = 0になるのがわかるのかblu3mo.icon*2
つまり、Forceが0
$ E_x(-x) = E_x(x)
potentialが逆になったら、傾きも反対なのはそう
これからも、$ E_x(0) = 0 なのがわかるな
ただ、y-componentとかは0ではないhttps://gyazo.com/dd873a6e13e5916a636f74efab6e391d
これを見ればわかる
逆のinversion symmetry: 例えば$ p(x)=-p(-x)な時
x=0において、Eのy, z componentは0になる
なるほど、field lineで確かにその辺りは左右だけ向いているイメージ
translational symmetries: 例えば $ p(x) = p(x+Δx)の時
この時、pはxに関してinvariant
結果ΦもEもxに関してinvariantになる
Eはgradient of $ φ_x = 0になるのか
これは、inversion symmetryでもある
rotational symmetry
ringであれば、radial componentと、z componentの二つの関数になる
radial componentが0ならradial directionのEが0なのは、inversion symmetryからわかる
"infinite set of inversion symmetry"、なるほど
その結果、全ての方向のE_componentが0なので、$ \vec E = \vec 0になる
infinite cylindrical symmetry
二つを合わせたらこうなる
r perpendicular 方向にrotational symmetry
z 方向にtranslational symmetry
disk chargeだと、微分した結果Φは|x| proportionalになる
termにσ = q/πR^2が含まれているので、dimentionは問題ない
この時、gradient = E-Forceは一定になる
これがuniform electric fieldになるのかblu3mo.icon*2
https://kakeru.app/80ea08a632f7cd8fbd441c571a7472ed https://i.kakeru.app/80ea08a632f7cd8fbd441c571a7472ed.svg